網(wǎng)格畫得越細(xì)，有限元分析結(jié)果就越精確？

有限元分析是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)值方法，用于求解各種工程和科學(xué)問題中的微分方程。在有限元分析中，網(wǎng)格的劃分是一個(gè)關(guān)鍵步驟，因?yàn)樗苯佑绊懙接?jì)算結(jié)果的精度和計(jì)算效率。那么，是否網(wǎng)格畫得越細(xì)，分析結(jié)果就越精確呢？

我們要明確一點(diǎn)，網(wǎng)格的細(xì)化確實(shí)可以在一定程度上提高分析的精度。當(dāng)網(wǎng)格足夠細(xì)時(shí)，它能夠更好地捕捉到問題域中的細(xì)節(jié)和變化，從而得到更準(zhǔn)確的解。這是因?yàn)樵谟邢拊治鲋校覀儗?shí)際上是將連續(xù)的問題域離散化，用一系列的單元來近似表示。如果網(wǎng)格太粗，那么這些單元可能無法準(zhǔn)確地描述問題域中的復(fù)雜變化，從而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的誤差。

然而，網(wǎng)格的細(xì)化并不是無限制的。當(dāng)網(wǎng)格細(xì)化到一定程度后，繼續(xù)增加網(wǎng)格數(shù)量可能不會(huì)顯著提高分析的精度，甚至可能導(dǎo)致計(jì)算效率的降低。這是因?yàn)橛邢拊治鲋械恼`差來源不僅僅是網(wǎng)格的離散化，還包括其他因素，如舍入誤差、迭代誤差等。此外，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量過多時(shí)，計(jì)算量會(huì)顯著增加，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間變長，甚至可能超出計(jì)算機(jī)的內(nèi)存限制。

很多時(shí)候，提高單元數(shù)量對(duì)于計(jì)算精度的提高，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不過選用更好更合理的單元類型。對(duì)于不同的求算對(duì)象，所需要的單元數(shù)量也不相同。一般來說，求算應(yīng)力需要比求算位移更多的單元，而求算剪應(yīng)力需要比正應(yīng)力更多的單元。

舉一個(gè)常見小例子，平面應(yīng)力問題，計(jì)算一根懸臂梁的變形和應(yīng)力：

懸臂梁的寬度為1，彈性模量30000，泊松比0.3，自由端承受豎向荷載100。求解A點(diǎn)的豎向位移、B點(diǎn)的正應(yīng)力、C點(diǎn)的剪應(yīng)力。

分別選用不同類型的四種單元計(jì)算，包括三節(jié)點(diǎn)三角形 CSTG、六節(jié)點(diǎn)三角形 LST、四節(jié)點(diǎn)四邊形 IPLQ、八節(jié)點(diǎn)四邊形 IPQQ。

首先計(jì)算位移和應(yīng)力的理論解：

A 點(diǎn)的豎向位移為0.895，B 點(diǎn)的正應(yīng)力為90，C 點(diǎn)的剪應(yīng)力為7.5。

然后分別用不同數(shù)量的四種單元進(jìn)行比較計(jì)算，所用軟件為 GT STRUDL，單元名稱按照 GT STRUDL 的命名，計(jì)算結(jié)果是這樣的：

隨著單元數(shù)量的增多，位移、正應(yīng)力和剪應(yīng)力結(jié)果都趨近于理論解。

對(duì)于不同的單元類型，趨近理論解的速度完全不同。同樣是32個(gè)單元，CSTG 的位移結(jié)果是0.5072，正應(yīng)力是33.11，與真實(shí)解 0.895 和 90 相差甚遠(yuǎn)。而32個(gè)單元的 LST 結(jié)果為0.8978和88.68，已經(jīng)很接近于理論解 0.895 和 90。

同樣是64個(gè)單元，IPLQ 的結(jié)果為 0.8715 、89.52，而 IPQQ 的結(jié)果則達(dá)到了 0.8999、90.01，可以說正應(yīng)力結(jié)果已經(jīng)非常非常接近理論解。

如果比較一下四邊形單元的結(jié)果和三角形單元的結(jié)果，差異更加明顯。對(duì)于位移結(jié)果來說，2000個(gè)CSTG單元的精度也比不上4個(gè)IPQQ單元的精度。

如果橫坐標(biāo)為單元數(shù)量，縱坐標(biāo)為計(jì)算結(jié)果，繪制一張收斂圖像的話，對(duì)于位移來說是這樣的：

對(duì)于這四種單元類型，要想達(dá)到類似的可以接受的精度水平，需要的單元數(shù)量完全不同。

根據(jù)上面的分析，想要得到精度可以接受的計(jì)算結(jié)果，CSTG需要2000多個(gè)單元，而IPQQ僅需要64個(gè)。

那么結(jié)論就是，提高單元數(shù)量的確會(huì)提高計(jì)算精度，但前提是單元類型合理高效。對(duì)于提高精度來說，更合理的方法是選用更好的單元，而不是盲目的提高單元數(shù)量。

除了網(wǎng)格的劃分外，還有其他一些因素也會(huì)影響有限元分析的精度。例如，所選用的有限元模型、邊界條件的處理方式、材料參數(shù)的準(zhǔn)確性等都會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響。因此，在進(jìn)行有限元分析時(shí)，需要綜合考慮這些因素，以確保得到準(zhǔn)確可靠的結(jié)果。

所以在選擇有限元分析公司的時(shí)候，也需要注意甄別，找有經(jīng)驗(yàn)、有技術(shù)背景的公司，才能在有限元分析結(jié)果上更精準(zhǔn)，以避免時(shí)間的浪費(fèi)及其他問題的發(fā)生。